Probabilités au backgammon : les chiffres derrière chaque coup

Deux dés à six faces donnent 36 lancers possibles. Le détail qui compte : 6-5 et 5-6 sont deux lancers différents. Imaginez un dé rouge et un dé blanc, et vous verrez que 6-5 peut sortir de deux façons. Un double comme 6-6, lui, ne sort que d'une seule. Il y a donc 30 lancers non doubles (15 combinaisons, comptées deux fois chacune) et 6 doubles.

À partir de là, toute probabilité au backgammon est une fraction de 36. Comptez les lancers qui conviennent, divisez par 36 : vous avez vos chances. Le tableau ci-dessous donne les comptes qui servent le plus souvent.

Deux chiffres méritent d'être appris par cœur. 11 lancers sur 36 contiennent un chiffre donné : les 5 lancers où ce chiffre sort avec un autre, comptés deux fois, plus le double. Et un lancer sur six est un double.

Un blot est un pion seul sur une case : n'importe quel pion adverse qui s'y pose peut le frapper. Le risque dépend avant tout d'une chose : la distance entre le blot et le pion qui le vise.

Shots directs : de 1 à 6 pips

Quand le blot est à 6 pips ou moins, votre adversaire peut le frapper avec un seul dé : c'est un shot direct. Tout lancer contenant ce chiffre frappe (11 lancers), et les combinaisons s'y ajoutent. Un blot à 6 pips est frappé par n'importe quel 6, mais aussi par 5-1, 4-2, 3-3 et 2-2 : 17 lancers au total.

Shots indirects : à partir de 7 pips

Au-delà de 6 pips, seuls les deux dés combinés, ou un double, atteignent le blot : c'est un shot indirect. Et les chances s'effondrent. Un blot à 7 pips n'est frappé que par 6-1, 5-2 et 4-3 : 6 lancers sur 36, environ un sur six. À 11 pips, seul 6-5 frappe.

Trois constats sautent aux yeux. En shot direct, plus le blot est près, moins il est exposé : 11 lancers frappent à 1 pip, 17 à 6 pips. Passer de 6 à 7 pips divise presque le risque par trois. Et au-delà de 12 pips, seul un double peut encore frapper : à 13 ou 14 pips, un pion seul ne peut pas frapper du tout.

Pour décider si une frappe ou un blot vaut le risque, voyez quand frapper au backgammon.

Pas besoin d'avoir un tableau sous les yeux. Les bons joueurs comptent les shots en quelques secondes, toujours en trois étapes.

1. Comptez les chiffres directs

Comptez 11 lancers pour chaque chiffre qui frappe directement. Un blot à 4 pips d'un pion adverse : tous les 4, soit 11 lancers.

2. Ajoutez les combinaisons

Listez ensuite les lancers qui frappent avec les deux dés ou avec un double, et que vous n'avez pas encore comptés. Pour le blot à 4 pips : 3-1 et 1-3 (2 lancers), plus 2-2 et 1-1 (2 lancers). Total : 15 lancers, un peu plus de 41 %.

3. Retirez ce qui est bloqué ou compté deux fois

Si le pion qui frappe doit passer par une case que vous tenez, une combinaison peut ne plus passer. Disons que votre blot est à 8 pips et que vous tenez la case située 4 pips devant le pion adverse : 4-4 et 2-2 tombent alors sur votre case, et seuls 6-2 et 5-3 frappent. 4 lancers au lieu de 6.

Quand un blot fait face à deux pions adverses, ou quand vous laissez deux blots, additionnez les shots de chacun et retirez les lancers comptés deux fois. Un blot exposé à des pions situés à 6 et à 1 pip : 17 lancers plus 11, moins les 4 lancers qui frappent depuis l'un ou l'autre (6-1, 1-6, 5-1, 1-5). Cela fait 24 lancers, deux chances sur trois. Chaque pion adverse de plus ajoute des shots, et deux shots directs s'additionnent vite.

Un pion frappé part sur la barre et doit rentrer par le jan intérieur adverse avant que vous puissiez jouer quoi que ce soit d'autre (comment on rentre). Chaque dé vous donne une chance : un dé fait rentrer le pion si la case correspondante n'est pas faite. Si les deux dés échouent, vous dansez et perdez tout votre tour.

Deux leçons se lisent directement dans le tableau. Avec un seul pion sur la barre, vous rentrez encore plus d'une fois sur deux, même contre quatre cases faites (20 lancers sur 36). Le vrai mur, c'est la cinquième case, puis la sixième : contre un jan fermé, aucun lancer ne rentre.

Avec deux pions sur la barre, les deux doivent rentrer avant que vous puissiez jouer autre chose : chaque dé doit donc rentrer séparément. Contre deux cases faites seulement, les deux pions ne rentrent qu'avec 16 lancers sur 36. Voilà pourquoi frapper un deuxième pion, quand le risque est raisonnable, est souvent si fort : cela peut coûter plusieurs tours à votre adversaire.

En fin de course, la question est simple : est-ce que je sors mes derniers pions ce tour-ci ? La réponse dépend de leur place, pas seulement du nombre de pips restants. Voici vos chances de sortir vos deux derniers pions en un lancer.

Comparez des positions au même compte de pips. Deux pions sur la case 3 (6 pips) sortent avec 17 lancers, alors qu'un pion sur la 4 et un sur la 2 (6 pips aussi) sortent avec 23. Des pions sur la 4 et la 1 (5 pips) sortent avec 29 lancers ; sur la 3 et la 2, avec 25. La place des pions pèse autant que le compte de pips.

C'est l'effet du gaspillage (wastage) : des lancers dont on ne peut pas utiliser tous les pips. C'est aussi pourquoi les repères de course pour le videau demandent d'ajouter quelques pips pour les pions empilés, et pourquoi les courtes sorties se jugent position par position. Pour la technique, voyez comment sortir ses pions vite et sans risque.

Connaître les chiffres ne sert que s'ils changent vos coups. Voici les situations où ils comptent le plus.

• Choisir où laisser un blot. S'il faut en laisser un à portée directe, un blot plus proche du pion adverse est en général moins exposé. Si vous pouvez, laissez-le à 7 pips ou plus : passer de 17 shots à 6, c'est un énorme gain.
• Un blot face à plusieurs tireurs. Un blot face à deux pions adverses peut être frappé bien plus souvent que le même blot face à un seul. Comptez les deux avant de décider.
• Construire votre jan. Chaque case de plus retire des lancers d'entrée à votre adversaire, et chacune en retire plus que la précédente : les quatrième, cinquième et sixième cases que vous faites en retirent 7, 9 et 11.
• Attaquer. Envoyer un deuxième pion sur la barre change complètement les chances de rentrer de votre adversaire. Le tableau ci-dessus montre de combien.
• Jouer la duplication. Si le chiffre qui frappe votre blot est aussi celui dont votre adversaire a besoin ailleurs, il ne peut souvent pas l'utiliser pour les deux, et vous pouvez y perdre moins.

Les probabilités ne sont que la moitié de chaque décision. L'autre moitié, c'est la suite : ce que vous perdez si vous êtes frappé, et ce que vous gagnez s'il rate. Un coup qui laisse 17 shots peut être juste si le raté gagne la partie ; un coup qui en laisse 11 peut être faux si être frappé fait perdre un gammon. Les bons joueurs pèsent les deux, et c'est ce qu'un moteur mesure sous le nom d'équité.

Vous retrouverez ces arbitrages dans les meilleures ouvertures au backgammon, où certains des meilleurs coups laissent un blot exprès, et dans la stratégie du videau, où le seuil de prise de 25 % est lui-même une probabilité.

Les probabilités disent aussi à quoi ressemble une malchance normale. Un double sort en moyenne une fois tous les six lancers, et pourtant la probabilité de ne faire aucun double en six lancers d'affilée est d'environ une sur trois (5/6 multiplié six fois par lui-même : 33,5 %). Un 6-6 a une chance sur 36, mais sur 36 lancers, la probabilité d'en voir au moins un n'est que d'environ 64 %. Les séries font partie des dés : elles ne signifient pas que quelque chose cloche.

Sur une partie, la chance peut tout décider. Sur beaucoup de parties, les lancers s'équilibrent et ce sont les décisions qui font la différence. C'est pourquoi les joueurs sérieux jugent leur jeu sur la qualité de leurs décisions, pas sur un résultat isolé.

Inutile d'apprendre tous les tableaux. Quelques repères couvrent l'essentiel de ce qui arrive en partie :

• 36 lancers, 11 par chiffre, 6 doubles. Tout le reste se construit à partir de là.
• 17 shots à 6 pips, 6 shots à 7 et 8 pips. La falaise entre shots directs et indirects.
• Contre 4 cases faites, un pion rentre 20 fois sur 36. Contre 5, seulement 11.
• 8⅙ pips par lancer en moyenne. Le lien entre le compte de pips et le nombre de lancers restants.

Ensuite, comptez pendant vos vraies parties. Avant de laisser un blot, comptez les shots. Avant de frapper, regardez les chiffres d'entrée de votre adversaire. C'est lent pendant quelques parties, puis cela devient automatique. Si un terme vous échappe, le lexique du backgammon l'explique, et les règles du backgammon détaillent chaque mécanisme.